Nacido en Lima en 1899, hijo de Narciso de Arámburu Dorca y de Victoria Rosas y de la Puente. Poco después de la muerte de su padre, su madre (una hija de Francisco Rosas y bisnieta de los marqueses de Villafuerte) se casó con el filósofo y político Alejandro Deústua. Estuvo casado con la ciudadana uruguaya, Mercedes González Morales.
En 1920, ingresó al servicio diplomático del Perú como asistente del Ministerio de Relaciones Exteriores. Fue segundo secretario en las legaciones de Berlín y Roma, secretario de la Comisión Especial para la Cuestión de Tacna y Arica en Washington D.C. (1922-1924). De primer secretario trabajó en Madrid (1929) y en Río de Janeiro (1933). Promovido a encargado de negocios de esta última legación, quedó al mando de la misión que, precisamente, negoció el Protocolo de Río de Janeiro de 1934, que puso fin a la guerra entre Perú y Colombia. En 1936, fue nombrado consejero y pasó a la legación en Londres y, en 1940, regresó a la Cancillería para ocupar el cargo de Jefe de la Dirección de Protocolo.
En 1944, el Perú reconoció al gobierno en el exilio del general francés Charles De Gaulle y designó a nuestro benefactor ante el Comité Francés de Liberación Nacional en Argel y, luego de la desocupación de París, ministro plenipotenciario. Con esta condición, formó parte de la delegación peruana en la primera Asamblea General de las Naciones Unidas celebrada en Londres en 1946. En junio de este último año, fue nombrado embajador en Colombia y, en 1952, en Ecuador, donde, a raíz de un incidente militar en la frontera, fue declarado persona non grata a inicios de 1953, teniendo que abandonar el país. En abril de ese mismo año, pasó a ser el primer embajador del Perú en la República Federal de Alemania, puesto que ocupó hasta 1955. Paso en ese año a Uruguay y, en 1963, al Reino Unido, siendo esta su última misión hasta su pase a retiro en 1969.
Retirado del servicio activo permaneció como consejero cultural de nuestra embajada en Londres hasta su fallecimiento en 1980. Parte de sus bienes fueron donados para la Fundación Academia Diplomática del Perú por su esposa Doña Mercedes González Morales.
El Embajador Igor Velázquez Rodríguez, fue hijo del escritor, poeta y escultor piurano Juan Luis Velásquez Guerrero, muy amigo del poeta César Vallejo. Su madre, doña Dolores Zubiaga Rodríguez, fue empresaria y relacionista pública española.
El Embajador, Manuel Rodríguez, quien fuera Canciller del Perú, dijo en su sepelio que: “Él fue un diplomático por vocación, por función, por identidad. Una suerte de diplomático ontológico en el sentido que siempre asumió su misión personal, familiar y como ciudadano a partir de su desempeño como Embajador del Perú y como miembro del Servicio Diplomático. Prestó funciones en importantes misiones del Perú en el exterior y siempre se caracterizó por una aguda capacidad de análisis y enriquecida capacidad de negociación.”
En su gestión, el Ministro de Relaciones Exteriores, Carlos García Bedoya lo nombró Presidente de su Comité de Asesores y el Gobierno le concedió la Orden del Sol del Perú, en el grado de Gran Cruz, como reconocimiento a su trayectoria profesional.
Cuando tomó conocimiento que había sido desahuciado por una enfermedad terminal se dedicó a donar su fortuna personal a diversas obras de carácter social. En ese sentido, hizo un donativo dinerario para la Fundación Academia Diplomática del Perú, con el fin de contribuir con la compra de un inmueble que sirviera para sede de la Academia Diplomática del Perú.
El ex – canciller, Manuel Rodríguez Cuadros, dijo en una oportunidad que gracias a la donación de Igor Velásquez “los peruanos que deberán continuar la senda abierta por García Bedoya, Gregorio Paz Soldán, Javier Pérez de Cuéllar, Alberto Ulloa Sotomayor y Raúl Porras Barnechea, tendrán un espacio adecuado para el estudio y la investigación que, además, pueda inspirar y respirar el espíritu institucional de Torre Tagle.”
Acaso nada defina mejor a Igor Velásquez Rodríguez que las palabras de nuestro ex Canciller Oscar Maúrtua de Romaña: “Su amor por el servicio diplomático y su personalidad encajan perfectamente en el concepto anglosajón de lo que es un "gentleman", esto es, el hombre valeroso que no daña, que no perjudica a nadie, que no odia. Y esa es la estela que nos deja este entrañable, inteligente y desinteresado diplomático a quien recordaremos permanentemente”.